Analysis Beispiele

$y x^{y - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = x^{y - 1}$ .

$y \frac{d}{d y} [x^{y - 1}] + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = y - 1$ ist.

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$y (0 ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $y - 1$ mit $0$ .

$y (0 x^{y - 2} + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{y - 2}$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))$ .

$y (\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$y ((\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y ((1 + \frac{d}{d y} [- 1]) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$y ((1 + 0) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $1$ und $0$ .

$y (1 x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $x^{y - 1}$ mit $1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \cdot 1$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $x^{y - 1}$ mit $1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$ um.

$y x^{y - 1} \ln (x) + x^{y - 1}$