Analysis Beispiele

$\int 15 x^{4} {(3 x^{5} - 9)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x^{5} - 9$ . Dann ist $d u = 15 x^{4} d x$ , folglich $\frac{1}{15 x^{4}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x^{5} - 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x^{5} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} - 9]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{5} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$15 x^{4} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $15 x^{4}$ und $0$ .

$15 x^{4}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{5} - 9$ .

$\frac{1}{3} {(3 x^{5} - 9)}^{3} + C$