Analysis Beispiele

$\int_{2}^{3} (\frac{4}{x^{2}} + 1) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{2}^{3} \frac{4}{x^{2}} + 1 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{3} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{2}^{3} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{2}^{3} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 \int_{2}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{2}^{3} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{2}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{2}^{3} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \int_{2}^{3} x^{- 2} d x + \int_{2}^{3} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$4 (- x^{- 1}]_{2}^{3}) + x]_{2}^{3}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $3$ und $2$ .

$4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) + x]_{2}^{3}$

Schritt 7.2

Berechne $x$ bei $3$ und $2$ .

$4 (- 3^{- 1} + 2^{- 1}) + 3 - 2$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{3} + 2^{- 1}) + 3 - 2$

Schritt 7.3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}) + 3 - 2$

Schritt 7.3.3

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) + 3 - 2$

Schritt 7.3.4

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

Schritt 7.3.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

Schritt 7.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

Schritt 7.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}) + 3 - 2$

Schritt 7.3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}) + 3 - 2$

Schritt 7.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{- 2 + 3}{6} + 3 - 2$

Schritt 7.3.7

Addiere $- 2$ und $3$ .

$4 (\frac{1}{6}) + 3 - 2$

Schritt 7.3.8

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} + 3 - 2$

Schritt 7.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 7.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{6} + 3 - 2$

Schritt 7.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} + 3 - 2$

Schritt 7.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} + 3 - 2$

Schritt 7.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} + 3 - 2$

Schritt 7.3.10

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{2}{3} + 1$

Schritt 7.3.11

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 7.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 3}{3}$

Schritt 7.3.13

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{5}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{3}$

Dezimalform:

$1.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{2}{3}$

Schritt 9