Analysis Beispiele

$\int 2 x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 2 x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{3}) - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{3}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} \int x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ um.

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{3} x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{2 \ln (x)}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{9} x^{3} + C$

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{9} x^{3} + C$