Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3} + 1$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{3} + 1$ ein.

$u_{lower} = 1^{3} + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 1 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{3} + 1$ ein.

$u_{upper} = 2^{3} + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $8$ und $1$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{9} 2 \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2}{3} \sqrt{u} d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\sqrt{u}$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2 \sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{9}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $2$ .

$\frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.3.3.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Kombiniere $2^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Schritt 6.4.2

Multipliziere $2^{\frac{3}{2}}$ mit $2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $2^{\frac{3}{2}}$ mit $2$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Schritt 6.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Schritt 6.4.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Schritt 6.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Schritt 6.4.2.4

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3} \cdot (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Dezimalform:

$10.74292127 \dots$