Analysis Beispiele

lim_{r \to - \frac{3}{2}} \frac{\sqrt{31 - 12 r^{2}}}{16 r^{3} + 10}

$lim_{r \to - \frac{3}{2}} \frac{\sqrt{31 - 12 r^{2}}}{16 r^{3} + 10}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

r

$r$ sich an

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ annähert.

\frac{lim_{r \to - \frac{3}{2}} \sqrt{31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}

$\frac{lim_{r \to - \frac{3}{2}} \sqrt{31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

r

$r$ sich an

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ annähert.

\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von

31

$31$ , welcher konstant ist, wenn

r

$r$ sich

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ annähert.

\frac{\sqrt{31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 5

Ziehe den Term

12

$12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

r

$r$ ist.

\frac{\sqrt{31 - 12 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten

2

$2$ von

r^{2}

$r^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

r

$r$ sich an

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ annähert.

\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Schritt 8

Ziehe den Term

16

$16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

r

$r$ ist.

\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten

3

$3$ von

r^{3}

$r^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von

10

$10$ , welcher konstant ist, wenn

r

$r$ sich

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ annähert.

\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ für alle

r

$r$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von

r

$r$ durch Einsetzen von

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ für

r

$r$ .

\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von

r

$r$ durch Einsetzen von

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ für

r

$r$ .

\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Wende die Exponentenregel

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 12.1.1.1

Wende die Produktregel auf

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ an.

\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.1.2

Wende die Produktregel auf

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ an.

\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

\frac{\sqrt{31 - 12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere

\frac{3^{2}}{2^{2}}

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit

1

$1$ .

\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.4

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{9}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{9}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.5

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

\frac{\sqrt{31 - 12 (\frac{9}{4})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 12 (\frac{9}{4})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von

4

$4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.6.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

- 12

$- 12$ heraus.

\frac{\sqrt{31 + 4 (- 3) \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 + 4 (- 3) \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{\sqrt{31 + 4 \cdot - 3 \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 + 4 \cdot - 3 \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

\frac{\sqrt{31 - 3 \cdot 9}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 3 \cdot 9}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

\frac{\sqrt{31 - 3 \cdot 9}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 3 \cdot 9}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.7

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

9

$9$ .

\frac{\sqrt{31 - 27}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{31 - 27}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.8

Subtrahiere

27

$27$ von

31

$31$ .

\frac{\sqrt{4}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{4}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.9

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

\frac{\sqrt{2^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

\frac{2}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{2}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

\frac{2}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}

$\frac{2}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Wende die Exponentenregel

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 12.2.1.1

Wende die Produktregel auf

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ an.

\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 10}

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 10}$

Schritt 12.2.1.2

Wende die Produktregel auf

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ an.

\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Schritt 12.2.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

3

$3$ .

\frac{2}{16 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}

$\frac{2}{16 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Schritt 12.2.3

Potenziere

3

$3$ mit

3

$3$ .

\frac{2}{16 (- \frac{27}{2^{3}}) + 10}

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{2^{3}}) + 10}$

Schritt 12.2.4

Potenziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

\frac{2}{16 (- \frac{27}{8}) + 10}

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{8}) + 10}$

Schritt 12.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

8

$8$ .

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Schritt 12.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in

- \frac{27}{8}

$- \frac{27}{8}$ in den Zähler.

\frac{2}{16 (\frac{- 27}{8}) + 10}

$\frac{2}{16 (\frac{- 27}{8}) + 10}$

Schritt 12.2.5.2

Faktorisiere

8

$8$ aus

16

$16$ heraus.

\frac{2}{8 (2) \frac{- 27}{8} + 10}

$\frac{2}{8 (2) \frac{- 27}{8} + 10}$

Schritt 12.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2}{8 \cdot 2 \frac{- 27}{8} + 10}

$\frac{2}{8 \cdot 2 \frac{- 27}{8} + 10}$

Schritt 12.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

\frac{2}{2 \cdot - 27 + 10}

$\frac{2}{2 \cdot - 27 + 10}$

\frac{2}{2 \cdot - 27 + 10}

$\frac{2}{2 \cdot - 27 + 10}$

Schritt 12.2.6

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 27

$- 27$ .

\frac{2}{- 54 + 10}

$\frac{2}{- 54 + 10}$

Schritt 12.2.7

Addiere

- 54

$- 54$ und

10

$10$ .

\frac{2}{- 44}

$\frac{2}{- 44}$

\frac{2}{- 44}

$\frac{2}{- 44}$

Schritt 12.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

2

$2$ und

- 44

$- 44$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2

$2$ heraus.

\frac{2 (1)}{- 44}

$\frac{2 (1)}{- 44}$

Schritt 12.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 44

$- 44$ heraus.

\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Schritt 12.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Schritt 12.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

\frac{1}{- 22}

$\frac{1}{- 22}$

\frac{1}{- 22}

$\frac{1}{- 22}$

\frac{1}{- 22}

$\frac{1}{- 22}$

Schritt 12.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

- \frac{1}{22}

$- \frac{1}{22}$

- \frac{1}{22}

$- \frac{1}{22}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

- \frac{1}{22}

$- \frac{1}{22}$

Dezimalform:

- 0.0\overline{45}

$- 0.0\overline{45}$