Analysis Beispiele

$lim_{r \to - \frac{3}{2}} \frac{\sqrt{31 - 12 r^{2}}}{16 r^{3} + 10}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $r$ sich an $- \frac{3}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{r \to - \frac{3}{2}} \sqrt{31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $r$ sich an $- \frac{3}{2}$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $31$ , welcher konstant ist, wenn $r$ sich $- \frac{3}{2}$ annähert.

$\frac{\sqrt{31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 5

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $r$ ist.

$\frac{\sqrt{31 - 12 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $r^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $r$ sich an $- \frac{3}{2}$ annähert.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Schritt 8

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $r$ ist.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $3$ von $r^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $r$ sich $- \frac{3}{2}$ annähert.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{3}{2}$ für alle $r$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $r$ durch Einsetzen von $- \frac{3}{2}$ für $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $r$ durch Einsetzen von $- \frac{3}{2}$ für $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 12.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{9}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 (\frac{9}{4})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 12.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{\sqrt{31 + 4 (- 3) \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{31 + 4 \cdot - 3 \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{31 - 3 \cdot 9}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$\frac{\sqrt{31 - 27}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.8

Subtrahiere $27$ von $31$ .

$\frac{\sqrt{4}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 12.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 10}$

Schritt 12.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Schritt 12.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Schritt 12.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{2^{3}}) + 10}$

Schritt 12.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{8}) + 10}$

Schritt 12.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 12.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{27}{8}$ in den Zähler.

$\frac{2}{16 (\frac{- 27}{8}) + 10}$

Schritt 12.2.5.2

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\frac{2}{8 (2) \frac{- 27}{8} + 10}$

Schritt 12.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{8 \cdot 2 \frac{- 27}{8} + 10}$

Schritt 12.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{2 \cdot - 27 + 10}$

Schritt 12.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 27$ .

$\frac{2}{- 54 + 10}$

Schritt 12.2.7

Addiere $- 54$ und $10$ .

$\frac{2}{- 44}$

Schritt 12.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 44$ .

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Schritt 12.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{- 44}$

Schritt 12.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 44$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Schritt 12.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Schritt 12.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 22}$

Schritt 12.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{22}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{22}$

Dezimalform:

$- 0.0\overline{45}$