Analysis Beispiele

$\int_{1}^{6} \frac{9}{4 \sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Schritt 1

Da $\frac{9}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{9}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{6} \frac{1}{\sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x - 2$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x - 2$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 2$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x - 2$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 6 - 2$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$u_{upper} = 18 - 2$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von $18$ .

$u_{upper} = 16$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{u}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u} \cdot 3} d u$

Schritt 3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt[4]{u}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt[4]{u}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{4} (\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{9}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Schritt 5.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $12$ .

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 (3)}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Schritt 5.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Schritt 5.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Schritt 5.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{u}$ als $u^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Schritt 5.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{4}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{4}}$ nach $u$ gleich $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{16}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ bei $16$ und $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{4}{3} \cdot 16^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Schritt 7.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Schritt 7.2.5

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Schritt 7.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3})$

Schritt 7.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{32 - 4}{3}$

Schritt 7.2.10

Subtrahiere $4$ von $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{28}{3}$

Schritt 7.2.11

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{28}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{4 \cdot 3}$

Schritt 7.2.12

Mutltipliziere $3$ mit $28$ .

$\frac{84}{4 \cdot 3}$

Schritt 7.2.13

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{84}{12}$

Schritt 7.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $84$ und $12$ .

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Schritt 7.2.14.1

Faktorisiere $12$ aus $84$ heraus.

$\frac{12 \cdot 7}{12}$

Schritt 7.2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.14.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$\frac{12 \cdot 7}{12 (1)}$

Schritt 7.2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 1}$

Schritt 7.2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{1}$

Schritt 7.2.14.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$7$

Schritt 8