Analysis Beispiele

$\sqrt{2 + 2 x} {(x^{2} + 1)}^{3}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + 2 x}$ als ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}] + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + 1$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + 1$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 + 2 x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 + 2 x$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 + 2 x$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{{(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Schritt 10.3

Bringe ${(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ und ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 12

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 13

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 14

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15

Vereinfache Terme.

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Schritt 15.1

Kombiniere $2$ und $\frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 17

Mutltipliziere $\frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18

Um $6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20

Multipliziere ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.1

Bewege ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{2}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Vereinfache $6 {(2 + 2 x)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ .

$\frac{6 (2 + 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22

Vereinfache.

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Schritt 22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(6 \cdot 2 + 6 (2 x)) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 22.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus $(6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}$ heraus.

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Schritt 22.2.1.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus $(6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2.1.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{3}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2.1.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.2.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((12 + 6 \cdot 2 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((12 + 12 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 x \cdot x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 22.2.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 (x \cdot x) + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 x^{2} + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2.5

Addiere $12 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 13 x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.2.6

Stelle die Terme um.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (13 x^{2} + 12 x + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3

Stelle die Terme um.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (13 x^{2} + 12 x + 1)}{{(2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$