Analysis Beispiele

$\arcsin (\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arcsin (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{(x^{2} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 6

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}}$ mit $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ an.

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 8.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 2 x - 2 x^{3}$ .

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Schritt 8.4.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x + 0}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.4.2.2

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.5

Vereine die Terme

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Schritt 8.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 8.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.6.3

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.7.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Schritt 8.7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Schritt 8.7.3

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.6

Stelle die Terme um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- x^{4} + {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7

Schreibe $\frac{- x^{4} + {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 8.7.7.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ als ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- x^{4} + {((x + 1) (x - 1))}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- {(x^{2})}^{2} + {((x + 1) (x - 1))}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.3

Stelle $- {(x^{2})}^{2}$ und ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{{((x + 1) (x - 1))}^{2} - {(x^{2})}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = (x + 1) (x - 1)$ und $b = x^{2}$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{((x + 1) (x - 1) + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5

Vereinfache.

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Schritt 8.7.7.5.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.7.7.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1) + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.7.7.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.7.7.5.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - x + x - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 0 - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.3

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.4

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.7.7.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.7.7.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.7.7.5.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.5.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.5.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.5.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - x + x - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.5.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 0 - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.5.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.6

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (0 - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.7.5.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $2 x^{2} - 1$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- 1 \cdot (2 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.10

Schreibe $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ als ${(\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot (- (2 x^{2} - 1))$ um.

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Schritt 8.7.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $2 x^{2} - 1$ heraus.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- \frac{1^{2} (2 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- \frac{1^{2} (2 x^{2} - 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{2} \cdot 1}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (2 x^{2} - 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{2} \cdot 1}$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- ({(\frac{1}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} (2 x^{2} - 1))} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.10.4

Stelle $- 1$ und ${(\frac{1}{(x + 1) (x - 1)})}^{2}$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{{(\frac{1}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot - 1 (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.10.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{{(\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot - 1 (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.10.6

Füge Klammern hinzu.

$- \frac{2 x}{\sqrt{{(\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot (- (2 x^{2} - 1))} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{2 x}{\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2 x}{\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.13

Kombiniere $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ und $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ .

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.14

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.7.14.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$ und ${(x + 1)}^{2}$ .

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.7.14.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ und ${(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 8.7.15

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.7.15.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$- \frac{2 x}{\frac{(x + 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2})}{(x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 8.7.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 x}{\frac{(x + 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2})}{(x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 8.7.15.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}}$

Schritt 8.7.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 1)}^{2}$ und $x - 1$ .

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Schritt 8.7.16.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$- \frac{2 x}{\frac{(x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}}$

Schritt 8.7.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.7.16.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- \frac{2 x}{\frac{(x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}}$

Schritt 8.7.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 x}{\frac{(x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}}$

Schritt 8.7.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}{1}}$

Schritt 8.7.16.2.4

Dividiere $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)$ durch $1$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 8.7.17

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x}{(\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot 1) (x - 1)}$

Schritt 8.7.18

Mutltipliziere $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ mit $1$ .

$- \frac{2 x}{(\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}) (x - 1)}$

Schritt 8.7.19

Multipliziere $(\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.7.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x (x - 1) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x - 1)}$

Schritt 8.7.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x - 1)}$

Schritt 8.7.19.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

Schritt 8.7.20

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1$ .

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Schritt 8.7.20.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1$ und $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x$ neu an.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x - x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} + x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

Schritt 8.7.20.2

Addiere $- x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ und $x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + 0 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

Schritt 8.7.20.3

Addiere $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x$ und $0$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

Schritt 8.7.21

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.7.21.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.7.21.1.1

Bewege $x$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x \cdot x) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

Schritt 8.7.21.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

Schritt 8.7.21.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} - 1 \cdot \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

Schritt 8.7.21.3

Schreibe $- 1 \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ als $- \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} - \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

Schritt 8.7.22

Faktorisiere $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ aus $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} - \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ heraus.

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Schritt 8.7.22.1

Faktorisiere $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ aus $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2}$ heraus.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2}) - \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

Schritt 8.7.22.2

Faktorisiere $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ aus $- \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ heraus.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2}) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

Schritt 8.7.22.3

Faktorisiere $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ aus $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2}) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1$ heraus.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2} - 1)}$

Schritt 8.7.23

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2} - 1^{2})}$

Schritt 8.7.24

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 8.8

Mutltipliziere $\frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$ mit $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$ .

$- (\frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}})$

Schritt 8.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.9.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$ mit $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1) \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

Schritt 8.9.2

Bewege $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

Schritt 8.9.3

Potenziere $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ mit $1$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

Schritt 8.9.4

Potenziere $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ mit $1$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1})}$

Schritt 8.9.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.9.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}}$

Schritt 8.9.7

Schreibe ${\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}$ als $- (2 x^{2} - 1)$ um.

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Schritt 8.9.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ als ${(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {({(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.9.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.9.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.9.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.9.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.9.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{1}}$

Schritt 8.9.7.5

Vereinfache.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (- (2 x^{2} - 1))}$

Schritt 8.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.10.1

Forme um.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1) \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

Schritt 8.10.2

Bewege $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

Schritt 8.10.3

Potenziere $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ mit $1$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

Schritt 8.10.4

Potenziere $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ mit $1$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1})}$

Schritt 8.10.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.10.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}}$

Schritt 8.10.7

Schreibe ${\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}$ als $- (2 x^{2} - 1)$ um.

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Schritt 8.10.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ als ${(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {({(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.10.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.10.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.10.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.10.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.10.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{1}}$

Schritt 8.10.7.5

Vereinfache.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (- (2 x^{2} - 1))}$

Schritt 8.10.8

Entferne unnötige Klammern.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) \cdot - 1 (2 x^{2} - 1)}$

Schritt 8.10.9

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{- (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$

Schritt 8.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{((x + 1) (x - 1)) (2 x^{2} - 1)}$

Schritt 8.12

Multipliziere $- - \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$ .

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Schritt 8.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$

Schritt 8.12.2

Mutltipliziere $\frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$ mit $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$