Analysis Beispiele

$2^{3 - \frac{x}{2}}$

Schritt 1

Schreibe $2^{3 - \frac{x}{2}}$ als Funktion.

$f (x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2^{3 - \frac{x}{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = 3 - \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = - \frac{1}{2} d x$ , folglich $- 2 d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = 3 - \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $3 - \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 - \frac{x}{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - \frac{x}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 5.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int - 2^{u_{1}} \cdot (1 \cdot 2) d u_{1}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot 2 d u_{1}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int - 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 5.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int - (2 \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 5.6

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\int - (2^{1} \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int - 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + u_{1}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 7.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 7.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 7.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 8

Das Integral von $2^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Schritt 9

Schreibe $- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ als $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ um.

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Schritt 10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + u_{1}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + u_{1}} + C$

Schritt 10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 - \frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{x}{2}} + C$

Schritt 11

Kombiniere $2^{1 + 3 - \frac{x}{2}}$ und $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- \frac{2^{1 + 3 - \frac{x}{2}}}{\ln (2)} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{1}{2} x} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{1}{2} x} + C$