Analysis Beispiele

$\int_{3}^{5} \frac{2 x^{2} + x + 4}{x - 1} d x$

Schritt 1

Dividiere $2 x^{2} + x + 4$ durch $x - 1$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x$
	$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - 2 x$

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$

Schritt 1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					+	$3 x$	-	$3$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x - 3$

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$
							+	$7$

Schritt 1.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int_{3}^{5} 2 x + 3 + \frac{7}{x - 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{3}^{5} x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Schritt 7

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 8

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{lower} = 3 - 1$

Schritt 8.3

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 1$ ein.

$u_{upper} = 5 - 1$

Schritt 8.5

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 8.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $5$ und $3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Schritt 10.2

Berechne $3 x$ bei $5$ und $3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Schritt 10.3

Berechne $\ln (| u |)$ bei $4$ und $2$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{25 - 9}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.4

Subtrahiere $9$ von $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 10.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{8}{1}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.5.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$2 \cdot 8 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$16 + 15 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$16 + 15 - 9 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.9

Subtrahiere $9$ von $15$ .

$16 + 6 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 10.4.10

Addiere $16$ und $6$ .

$22 + 7 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

Schritt 11

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$22 + 7 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

Schritt 12.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{2})$

Schritt 12.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$22 + 7 \ln (2)$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$22 + 7 \ln (2)$

Dezimalform:

$26.85203026 \dots$

Schritt 14