Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{\sqrt{2 x}}{x} d x + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{u}{2}$ zu dividieren.

$\int \sqrt{u} \frac{2}{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{2}{u}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 2}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{2 \cdot \sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{u}}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{u \cdot 2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.1.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sqrt{u}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.3.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.4.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 5.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Schritt 8.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{- 5} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Schritt 10.1.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + C$

Schritt 10.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ $2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$