Analysis Beispiele

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} x d x$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ und $x$ .

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{x}{θ_{2} - θ_{1}} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} x d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{1}{2} x^{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ und $\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $θ_{2}$ und $θ_{1}$ .

$\frac{(\frac{{θ_{2}}^{2}}{2}) - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Schritt 4.2.2.2

Kombinieren.

$\frac{2 (\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 4.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 4.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} - 2 \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 4.2.2.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{θ_{1}}^{2}}{2}$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- 2 {θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 4.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.2.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 {θ_{1}}^{2}$ heraus.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 4.2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 (1)}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 4.2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 \cdot 1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 4.2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- {θ_{1}}^{2}}{1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 4.2.2.7.2.4

Dividiere $- {θ_{1}}^{2}$ durch $1$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} - {θ_{1}}^{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = θ_{2}$ und $b = θ_{1}$ .

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $θ_{2} - θ_{1}$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{θ_{2} + θ_{1}}{2}$