Analysis Beispiele

$\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 y^{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{y^{2}}$ als ${(y^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.11

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.12

Bringe $y^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{3}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{16}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{4}}{16}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} (4 y^{3})$

Schritt 3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4}{16} y^{3}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{4}{16}$ und $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{16}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{3}$ heraus.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 (y^{3})}{16}$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{4}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{y^{3}}{4} - \frac{1}{y^{3}}$