Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{2 x - 8}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 8}{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 - \frac{8}{x}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 - \frac{8}{x}}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{2 - \frac{8}{x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{1 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x}}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 - 8 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 - 8 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{2 - 8 \cdot 0}$

Schritt 6.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 8 \cdot 0}$

Schritt 6.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 - 8 \cdot 0}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

Schritt 6.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$