Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} & x \neq - 1 \\ 1 & x = - 1 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ , wenn sich $x$ $- 1$ nähert.

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Schritt 1.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 1.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 1.1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 1.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 1.1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 1.1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 1.1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 1.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 1.1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Schritt 1.1.1.3.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 1.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 1.1.3.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 1.1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{1 + 0}$

Schritt 1.1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{1}$

Schritt 1.1.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$lim_{x \to - 1} 2 x$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to - 1} x$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$2 \cdot - 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$1$

Schritt 3

Da die Grenze von $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ bei Annäherung von $x$ an $- 1$ nicht gleich dem Funktionswert bei $x = - 1$ ist, ist die Funktion bei $x = - 1$ nicht kontinuierlich.

Nicht stetig

Schritt 4