Analysis Beispiele

$4 + x y - 4 x = 5 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 + x y - 4 x) = \frac{d}{d x} (5 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + x y - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$0 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$0 + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + x y' + y - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + x y' + y - 4 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$0 + x y' + y - 4$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $x y' + y$ .

$x y' + y - 4$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + y - 4 = 5 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $5 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y - 4 - 5 y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - 4 - 5 y' = - y$

Schritt 5.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - 5 y' = - y + 4$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x y' - 5 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x - 5 y' = - y + 4$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 5 y'$ heraus.

$y' x + y' \cdot - 5 = - y + 4$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x + y' \cdot - 5$ heraus.

$y' (x - 5) = - y + 4$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 5) = - y + 4$ durch $x - 5$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 5) = - y + 4$ durch $x - 5$ .

$\frac{y' (x - 5)}{x - 5} = \frac{- y}{x - 5} + \frac{4}{x - 5}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - 5)}{x - 5} = \frac{- y}{x - 5} + \frac{4}{x - 5}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{x - 5} + \frac{4}{x - 5}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y + 4}{x - 5}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (y) + 4}{x - 5}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$y' = \frac{- (y) - 1 (- 4)}{x - 5}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 4)$ heraus.

$y' = \frac{- (y - 4)}{x - 5}$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.5.1

Schreibe $- (y - 4)$ als $- 1 (y - 4)$ um.

$y' = \frac{- 1 (y - 4)}{x - 5}$

Schritt 5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y - 4}{x - 5}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 4}{x - 5}$