Analysis Beispiele

$\frac{1}{x (x + 1)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x (x + 1)}$ als ${(x (x + 1))}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x (x + 1))}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x (x + 1)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x (x + 1)$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \cdot 1)$

Schritt 4.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + x + 1)$

Schritt 4.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (2 x + 1)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}} (2 x + 1)$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $x (x + 1)$ an.

$- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$ um.

$- (2 x + 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $- 2 x - 1$ mit $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.9

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.11

Schreibe $- (2 x + 1)$ als $- 1 (2 x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$