Analysis Beispiele

$f (x) = x e^{2 x}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x e^{2 x} d x$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Schritt 6

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 7

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 11

Schreibe $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ als $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ um.

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$