Analysis Beispiele

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (2 θ)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{θ \to 0} 1 - \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{θ \to 0} 1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $0$ für $θ$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{0}{\sin (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $0$ für $θ$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (2 θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $θ$ gleich $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (θ)$ nach $θ$ gleich $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 - - \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Schritt 1.3.4.4

Mutltipliziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $\sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sin (θ)$ und $g (θ) = 2 θ$ .

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Schritt 1.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 θ$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Schritt 1.3.6.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Schritt 1.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $2 θ$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Schritt 1.3.7

Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $2 θ$ nach $θ$ gleich $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) (2 \cdot 1)}$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2}$

Schritt 1.3.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cos (2 θ)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $θ$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $0$ für $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $0$ für $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (0)}$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0$