Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 4 x^{2}}{9 x^{2} + 5 x}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $9$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{9 + \frac{5 x}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{9 + \frac{x \cdot 5}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{9 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{9 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{9 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}} - 4}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{5}{x}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{8 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{5}{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{8 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{5}{x}}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{8 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{8 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{9 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{9 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{9 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{9 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0 - 4}{9 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{- 4}{9 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{- 4}{9 + 0}$

Schritt 6.2.2

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{- 4}{9}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{9}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{4}{9}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{4}$