Analysis Beispiele

$y = - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{10} x^{5} - 3$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{10} x^{5} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.6

Kombiniere $\frac{- 6}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 1.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.7.2.4

Dividiere $- 2 x^{2}$ durch $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $\frac{3}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{10} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{10}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4.5

Kombiniere $\frac{15}{10}$ und $x^{4}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $10$ .

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Schritt 1.4.6.1

Faktorisiere $5$ aus $15 x^{4}$ heraus.

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2} + 0$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Addiere $- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2}$ und $0$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{3 x^{4}}{2}$

Schritt 1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 2 x^{2} + 6 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3 x^{4}}{2} - 2 x^{2} + 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{4}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{12}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.6.2.4

Dividiere $6 x^{3}$ durch $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$6 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{3} - 4 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x^{3} - 4 x + 6 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} - 4 x + 6$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{3} - 4 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{3}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$18 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 x^{2} - 4 + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $18 x^{2} - 4$ und $0$ .

$f''' (x) = 18 x^{2} - 4$