Analysis Beispiele

$\int \frac{4 (x^{3} + 3)}{{(x^{4} + 12 x)}^{3}} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{x^{3} + 3}{{(x^{4} + 12 x)}^{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{4} + 12 x$ . Dann ist $d u = (4 x^{3} + 12) d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + 3) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{4} + 12 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{4} + 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 12 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + 12 \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 12$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Schritt 3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$4 \int \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u^{3}} d u$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 3} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

Schritt 7.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 12 x$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{4} + 12 x)}^{2}} + C$