Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \sqrt[4]{x} - \frac{3}{x}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 5 \sqrt[4]{x} - \frac{3}{x} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 \sqrt[4]{x} d x + \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \sqrt[4]{x} d x + \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$5 \int x^{\frac{1}{4}} d x + \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) + \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - \int \frac{3}{x} d x$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x^{\frac{5}{4}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C) - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C) - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$4 x^{\frac{5}{4}} - 3 \ln (| x |) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 5 \sqrt[4]{x} - \frac{3}{x}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{5}{4}} - 3 \ln (| x |) + C$