Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Schritt 1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 1.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ als $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ durch Herausziehen von $\cot (x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Schritt 4

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Schritt 5

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

Schritt 6

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 7

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Schritt 8

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

Schritt 9

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$e^{0}$

Schritt 10

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$