Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + x$ . Dann ist $d u = (2 x + 1) d x$ , folglich $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + x$ ein.

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + x$ ein.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{2} e^{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{2}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $e^{u}$ bei $2$ und $0$ .

$(e^{2}) - e^{0}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{2} - 1$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{2} - 1$

Dezimalform:

$6.38905609 \dots$

Schritt 5