Analysis Beispiele

$\frac{1 - 2 x}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - 2 x$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 2 - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot x^{2} - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (1 - 2 x) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 (1 - 2 x) x}{x^{4}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 (- 2 x)) x}{x^{4}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 (- 2 x) x}{x^{4}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x - 2 (- 2 x) x}{x^{4}}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x - 2 (- 2 (x \cdot x))}{x^{4}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x - 2 (- 2 x^{2})}{x^{4}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 4 x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 2 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x}{x^{4}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (x) - 2 x}{x^{4}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 x (x) + 2 x (- 1)}{x^{4}}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (- 1)$ heraus.

$\frac{2 x (x - 1)}{x^{4}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x (x - 1)$ heraus.

$\frac{x (2 (x - 1))}{x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (2 (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (x - 1)}{x^{3}}$