Analysis Beispiele

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (7 - 10 x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}$ und $g (x) = 7 - 10 x^{2}$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [7 - 10 x^{2}] + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - 10 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]) + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Schritt 2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]) + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Schritt 2.4

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 10 (2 x)) + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}]$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 10] + \frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- 10] + \frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.8

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.10

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{- 3}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (9 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(- 10 + 9 x^{- 3} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 x^{- 4} + 2 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(- 10 + 9 \frac{1}{x^{3}} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 x^{- 4} + 2 x)$

Schritt 3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(- 10 + 9 \frac{1}{x^{3}} + x^{2}) (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 (- 20 x) + 9 \frac{1}{x^{3}} (- 20 x) + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 10$ .

$200 x + 9 \frac{1}{x^{3}} (- 20 x) + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$200 x + \frac{9}{x^{3}} (- 20 x) + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.3

Kombiniere $- 20$ und $\frac{9}{x^{3}}$ .

$200 x + \frac{- 20 \cdot 9}{x^{3}} x + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $9$ .

$200 x + \frac{- 180}{x^{3}} x + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $\frac{- 180}{x^{3}}$ und $x$ .

$200 x + \frac{- 180 x}{x^{3}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 3.4.6.1

Faktorisiere $x$ aus $- 180 x$ heraus.

$200 x + \frac{x \cdot - 180}{x^{3}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$200 x + \frac{x \cdot - 180}{x \cdot x^{2}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$200 x + \frac{x \cdot - 180}{x \cdot x^{2}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$200 x + \frac{- 180}{x^{2}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$200 x - \frac{180}{x^{2}} + x^{2} (- 20 x) + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.8.1

Bewege $x$ .

$200 x - \frac{180}{x^{2}} + x \cdot x^{2} \cdot - 20 + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$200 x - \frac{180}{x^{2}} + x^{1} x^{2} \cdot - 20 + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$200 x - \frac{180}{x^{2}} + x^{1 + 2} \cdot - 20 + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$200 x - \frac{180}{x^{2}} + x^{3} \cdot - 20 + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.9

Bringe $- 20$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$200 x - \frac{180}{x^{2}} - 20 \cdot x^{3} + (7 - 10 x^{2}) (- 27 \frac{1}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.10

Kombiniere $- 27$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$200 x - \frac{180}{x^{2}} - 20 x^{3} + (7 - 10 x^{2}) (\frac{- 27}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$200 x - \frac{180}{x^{2}} - 20 x^{3} + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x)$

Schritt 3.4.12

Um $(7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$200 x - 20 x^{3} - \frac{180}{x^{2}} + \frac{(7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$200 x - 20 x^{3} + \frac{- 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.14

Um $200 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- 20 x^{3} + \frac{200 x \cdot x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 20 x^{3} + \frac{200 x \cdot x^{2} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.16

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.16.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 20 x^{3} + \frac{200 (x^{2} x) - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.16.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.16.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 20 x^{3} + \frac{200 (x^{2} x^{1}) - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.16.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 20 x^{3} + \frac{200 x^{2 + 1} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.16.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 20 x^{3} + \frac{200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.17

Um $- 20 x^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- 20 x^{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.18

Kombiniere $- 20 x^{3}$ und $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- 20 x^{3} x^{2}}{x^{2}} + \frac{200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 20 x^{3} x^{2} + 200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.20

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.20.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{- 20 (x^{2} x^{3}) + 200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 20 x^{2 + 3} + 200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.20.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - 180 + (7 - 10 x^{2}) (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + x^{2} (- \frac{27}{x^{4}} + 2 x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (x^{2} (- \frac{27}{x^{4}}) + x^{2} (2 x)) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- x^{2} \frac{27}{x^{4}} + x^{2} (2 x)) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- x^{2} \frac{27}{x^{4}} + 2 x^{2} x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.6.4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (x^{2} \cdot - 1 \frac{27}{x^{4}} + 2 x^{2} x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.4.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (x^{2} \cdot - 1 \frac{27}{x^{2} x^{2}} + 2 x^{2} x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (x^{2} \cdot - 1 \frac{27}{x^{2} x^{2}} + 2 x^{2} x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- \frac{27}{x^{2}} + 2 x^{2} x) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.4.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- \frac{27}{x^{2}} + 2 (x \cdot x^{2})) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.6.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- \frac{27}{x^{2}} + 2 (x^{1} x^{2})) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- \frac{27}{x^{2}} + 2 x^{1 + 2}) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.4.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + (- \frac{27}{x^{2}} + 2 x^{3}) (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.5

Multipliziere $(- \frac{27}{x^{2}} + 2 x^{3}) (7 - 10 x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{27}{x^{2}} (7 - 10 x^{2}) + 2 x^{3} (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{27}{x^{2}} \cdot 7 - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} (7 - 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{27}{x^{2}} \cdot 7 - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.6.1

Multipliziere $- \frac{27}{x^{2}} \cdot 7$ .

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Schritt 3.6.6.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - 7 \frac{27}{x^{2}} - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.1.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{27}{x^{2}}$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + \frac{- 7 \cdot 27}{x^{2}} - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $27$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} + \frac{- 189}{x^{2}} - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} - \frac{27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.6.6.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{27}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + \frac{- 27}{x^{2}} (- 10 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 10 x^{2}$ heraus.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + \frac{- 27}{x^{2}} (x^{2} \cdot - 10) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + \frac{- 27}{x^{2}} (x^{2} \cdot - 10) + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} - 27 \cdot - 10 + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 10$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 2 x^{3} \cdot 7 + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.5

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} + 2 x^{3} (- 10 x^{2}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} + 2 \cdot - 10 x^{3} x^{2} - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.7

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.6.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} + 2 \cdot - 10 (x^{2} x^{3}) - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} + 2 \cdot - 10 x^{2 + 3} - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.7.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} + 2 \cdot - 10 x^{5} - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.6.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$\frac{- 20 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} - 20 x^{5} - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.7

Subtrahiere $20 x^{5}$ von $- 20 x^{5}$ .

$\frac{- 40 x^{5} + 200 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 + 14 x^{3} - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.8

Addiere $200 x^{3}$ und $14 x^{3}$ .

$\frac{- 40 x^{5} + 214 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 270 - 180}{x^{2}}$

Schritt 3.6.9

Subtrahiere $180$ von $270$ .

$\frac{- 40 x^{5} + 214 x^{3} - \frac{189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.10

Um $- 40 x^{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{214 x^{3} - 40 x^{5} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.11

Kombiniere $- 40 x^{5}$ und $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{214 x^{3} + \frac{- 40 x^{5} x^{2}}{x^{2}} - \frac{189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{214 x^{3} + \frac{- 40 x^{5} x^{2} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.13

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.13.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{214 x^{3} + \frac{- 40 (x^{2} x^{5}) - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{214 x^{3} + \frac{- 40 x^{2 + 5} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.13.3

Addiere $2$ und $5$ .

$\frac{214 x^{3} + \frac{- 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.14

Um $214 x^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{214 x^{3} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{214 x^{3} x^{2} - 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.16.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.16.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\frac{214 (x^{2} x^{3}) - 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.16.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{214 x^{2 + 3} - 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.16.1.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{\frac{214 x^{5} - 40 x^{7} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.16.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} - 189}{x^{2}} + 90}{x^{2}}$

Schritt 3.6.17

Um $90$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} - 189}{x^{2}} + \frac{90 x^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 3.6.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} - 189 + 90 x^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 3.6.19

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.8

Multipliziere $\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2} x^{2}}$

Schritt 3.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.8.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{2 + 2}}$

Schritt 3.8.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{- 40 x^{7} + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{4}}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 40 x^{7}$ heraus.

$\frac{- (40 x^{7}) + 214 x^{5} + 90 x^{2} - 189}{x^{4}}$

Schritt 3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $214 x^{5}$ heraus.

$\frac{- (40 x^{7}) - (- 214 x^{5}) + 90 x^{2} - 189}{x^{4}}$

Schritt 3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (40 x^{7}) - (- 214 x^{5})$ heraus.

$\frac{- (40 x^{7} - 214 x^{5}) + 90 x^{2} - 189}{x^{4}}$

Schritt 3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $90 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (40 x^{7} - 214 x^{5}) - (- 90 x^{2}) - 189}{x^{4}}$

Schritt 3.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (40 x^{7} - 214 x^{5}) - (- 90 x^{2})$ heraus.

$\frac{- (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2}) - 189}{x^{4}}$

Schritt 3.14

Schreibe $- 189$ als $- 1 (189)$ um.

$\frac{- (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2}) - 1 (189)}{x^{4}}$

Schritt 3.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2}) - 1 (189)$ heraus.

$\frac{- (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2} + 189)}{x^{4}}$

Schritt 3.16

Schreibe $- (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2} + 189)$ als $- 1 (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2} + 189)$ um.

$\frac{- 1 (40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2} + 189)}{x^{4}}$

Schritt 3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{40 x^{7} - 214 x^{5} - 90 x^{2} + 189}{x^{4}}$