Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} (3 \sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} \frac{2}{x} d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - (2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Berechne $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $4$ und $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Schritt 11.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $4$ und $1$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3

Vereinfache.

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Schritt 11.1.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{16 - 2}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.9

Subtrahiere $2$ von $16$ .

$3 (\frac{14}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.10

Kombiniere $3$ und $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $14$ .

$\frac{42}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $42$ und $3$ .

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Schritt 11.1.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $42$ heraus.

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1.3.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14}{1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3.12.2.4

Dividiere $14$ durch $1$ .

$14 - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 - 2 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

Schritt 11.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{1})$

Schritt 11.3.3

Dividiere $4$ durch $1$ .

$14 - 2 \ln (4)$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$14 - 2 \ln (2^{2})$

Schritt 12.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$14 - 2 (2 \ln (2))$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$14 - 4 \ln (2)$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$14 - 4 \ln (2)$

Dezimalform:

$11.22741127 \dots$

Schritt 14