Analysis Beispiele

$\int \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ , folglich $- d u_{2} = \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{2}{1} u_{2} d u_{2}$

Schritt 2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ um.

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\sin^{2} (\frac{1}{2} x) + C$