Analysis Beispiele

$\int {(1 - x - y)}^{2} d y$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x - y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - x - y]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.1.2.3

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 0 - 1$

Schritt 1.1.4

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - u^{2} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{2} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 4

Schreibe $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ um.

$- \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $1 - x - y$ .

$- \frac{1}{3} {(1 - x - y)}^{3} + C$