Analysis Beispiele

$y = \tan (5 x)$ , $y = 2 \sin (5 x)$ , $- \frac{π}{15} \leq x \leq \frac{π}{15}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$

Schritt 1.2

Löse $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ durch $\tan (5 x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ durch $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (5 x)$ .

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Schritt 1.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Schritt 1.2.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1.3.1

Separiere Brüche.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

Schritt 1.2.1.3.2

Schreibe $\tan (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Schritt 1.2.1.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ zu dividieren.

$1 = \frac{2}{1} (\sin (5 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Schritt 1.2.1.3.4

Schreibe $\sin (5 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Schritt 1.2.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (5 x)$ .

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Schritt 1.2.1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Schritt 1.2.1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{2}{1} \cos (5 x)$

Schritt 1.2.1.3.6

Dividiere $2$ durch $1$ .

$1 = 2 \cos (5 x)$

Schritt 1.2.2

Schreibe die Gleichung als $2 \cos (5 x) = 1$ um.

$2 \cos (5 x) = 1$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (5 x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (5 x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $\cos (5 x)$ durch $1$ .

$\cos (5 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$5 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$5 x = \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{π}{3}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{π}{3}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.6.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 1.2.6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

Schritt 1.2.6.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x = \frac{π}{15}$

Schritt 1.2.7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$5 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.8.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.8.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.8.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 1.2.8.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$5 x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 1.2.8.1.5

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$5 x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 1.2.8.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{5 π}{3}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{5 π}{3}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Schritt 1.2.8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Schritt 1.2.8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

Schritt 1.2.8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.8.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.8.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 π$ heraus.

$x = \frac{5 (π)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.8.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.8.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.9

Ermittele die Periode von $\cos (5 x)$ .

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Schritt 1.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze $b$ durch $5$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Schritt 1.2.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Schritt 1.2.10

Die Periode der Funktion $\cos (5 x)$ ist $\frac{2 π}{5}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{5}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

Schritt 1.3.2

Setze $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ für $x$ in $y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{15} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 (3)} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Schritt 1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Schritt 1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Schritt 1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.3.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Schritt 1.3.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$ .

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Schritt 1.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Schritt 1.4.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Schritt 1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

Schritt 1.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Schritt 1.5

Liste alle Lösungen auf.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- \frac{π}{15}$ und $\frac{π}{15}$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - (\tan (5 x)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe $\tan (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} d x$

Schritt 3.3

Wandle von $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ nach $\tan (5 x)$ um.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \tan (5 x) d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Schritt 3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Schritt 3.6

Sei $u_{1} = 5 x$ . Dann ist $d u_{1} = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.6.1

Es sei $u_{1} = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.6.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.6.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 3.6.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 3.6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = 5 x$ ein.

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

Schritt 3.6.3

Vereinfache.

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Schritt 3.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{15}$ in den Zähler.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

Schritt 3.6.3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

Schritt 3.6.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

Schritt 3.6.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Schritt 3.6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Schritt 3.6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = 5 x$ ein.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

Schritt 3.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.5.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

Schritt 3.6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

Schritt 3.6.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 3.6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 3.6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Schritt 3.7

Kombiniere $\sin (u_{1})$ und $\frac{1}{5}$ .

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u_{1})}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Schritt 3.8

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $2$ .

$\frac{2}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Schritt 3.10

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

Schritt 3.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

Schritt 3.12

Sei $u_{2} = 5 x$ . Dann ist $d u_{2} = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.12.1

Es sei $u_{2} = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 3.12.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.12.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 3.12.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 3.12.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = 5 x$ ein.

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

Schritt 3.12.3

Vereinfache.

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Schritt 3.12.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.12.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{15}$ in den Zähler.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

Schritt 3.12.3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

Schritt 3.12.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

Schritt 3.12.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Schritt 3.12.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Schritt 3.12.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = 5 x$ ein.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

Schritt 3.12.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.12.5.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

Schritt 3.12.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

Schritt 3.12.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 3.12.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 3.12.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Schritt 3.13

Kombiniere $\tan (u_{2})$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan (u_{2})}{5} d u_{2}$

Schritt 3.14

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 3.15

Das Integral von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Schritt 3.16

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.16.1

Berechne $- \cos (u_{1})$ bei $\frac{π}{3}$ und $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Schritt 3.16.2

Berechne $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ bei $\frac{π}{3}$ und $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Schritt 3.16.3

Entferne die Klammern.

$\frac{2}{5} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Schritt 3.17

Vereinfache.

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Schritt 3.17.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Schritt 3.17.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Schritt 3.17.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$

Schritt 3.17.4

Kombiniere $\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.17.5

Um $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.17.6

Kombiniere $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.17.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.17.8

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.17.9

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\frac{10}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.17.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 3.17.10.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.17.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.17.10.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.17.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.17.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2}{1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.17.10.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.18

Vereinfache.

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Schritt 3.18.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.18.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.18.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.18.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.18.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \frac{- 1 + 1}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.18.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.18.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.18.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.18.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.18.5

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.18.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.18.6.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{5 π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.18.6.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{π}{3}) |})}{5}$

Schritt 3.18.6.3

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| 2 |})}{5}$

Schritt 3.18.6.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{2})}{5}$

Schritt 3.18.7

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{5}$

Schritt 3.18.8

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0 - 0}{5}$

Schritt 3.18.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{5}$

Schritt 3.18.10

Vereinfache den Ausdruck $\frac{0 + 0}{5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.18.10.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\frac{5 (0) + 0}{5}$

Schritt 3.18.10.2

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{5}$

Schritt 3.18.10.3

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 0 + 5 \cdot 0$ heraus.

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5}$

Schritt 3.18.10.4

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 (1)}$

Schritt 3.18.10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 \cdot 1}$

Schritt 3.18.10.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0 + 0}{1}$

Schritt 3.18.11

Dividiere $0 + 0$ durch $1$ .

$0 + 0$

Schritt 3.18.12

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4