Analysis Beispiele

$\int \frac{20 x^{4} - 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $20 x^{4} - 9 x^{3} + 10 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $20 x^{4}$ heraus.

$\int \frac{x^{2} (20 x^{2}) - 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 9 x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x^{2} (20 x^{2}) + x^{2} (- 9 x) + 10 x^{2}}{x} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x^{2} (20 x^{2}) + x^{2} (- 9 x) + x^{2} \cdot 10}{x} d x$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (20 x^{2}) + x^{2} (- 9 x)$ heraus.

$\int \frac{x^{2} (20 x^{2} - 9 x) + x^{2} \cdot 10}{x} d x$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (20 x^{2} - 9 x) + x^{2} \cdot 10$ heraus.

$\int \frac{x^{2} (20 x^{2} - 9 x + 10)}{x} d x$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (20 x^{2} - 9 x + 10)$ heraus.

$\int \frac{x (x (20 x^{2} - 9 x + 10))}{x} d x$

Schritt 1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x (x (20 x^{2} - 9 x + 10))}{x^{1}} d x$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int \frac{x (x (20 x^{2} - 9 x + 10))}{x \cdot 1} d x$

Schritt 1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x (x (20 x^{2} - 9 x + 10))}{x \cdot 1} d x$

Schritt 1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{x (20 x^{2} - 9 x + 10)}{1} d x$

Schritt 1.2.2.5

Dividiere $x (20 x^{2} - 9 x + 10)$ durch $1$ .

$\int x (20 x^{2} - 9 x + 10) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (20 x^{2} - 9 x) + x \cdot 10 d x$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (20 x^{2}) + x (- 9 x) + x \cdot 10 d x$

Schritt 2.3

Stelle $x$ und $20$ um.

$\int 20 \cdot x \cdot x^{2} + x (- 9 x) + x \cdot 10 d x$

Schritt 2.4

Stelle $x$ und $- 9$ um.

$\int 20 \cdot x \cdot x^{2} - 9 \cdot x \cdot x + x \cdot 10 d x$

Schritt 2.5

Stelle $x$ und $10$ um.

$\int 20 \cdot x \cdot x^{2} - 9 \cdot x \cdot x + 10 \cdot x d x$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 20 (x^{1} x^{2}) - 9 x \cdot x + 10 x d x$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 20 x^{1 + 2} - 9 x \cdot x + 10 x d x$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $2$ .

$\int 20 x^{3} - 9 x \cdot x + 10 x d x$

Schritt 2.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 20 x^{3} - 9 (x^{1} x) + 10 x d x$

Schritt 2.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 20 x^{3} - 9 (x^{1} x^{1}) + 10 x d x$

Schritt 2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 20 x^{3} - 9 x^{1 + 1} + 10 x d x$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 20 x^{3} - 9 x^{2} + 10 x d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 20 x^{3} d x + \int - 9 x^{2} d x + \int 10 x d x$

Schritt 4

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$20 \int x^{3} d x + \int - 9 x^{2} d x + \int 10 x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$20 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 x^{2} d x + \int 10 x d x$

Schritt 6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 9$ aus dem Integral.

$20 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 \int x^{2} d x + \int 10 x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$20 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 10 x d x$

Schritt 8

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$20 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 \int x d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$20 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$5 x^{4} - 3 x^{3} + 10 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$5 x^{4} - 3 x^{3} + 10 \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $10$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$5 x^{4} - 3 x^{3} + \frac{10 x^{2}}{2} + C$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 10.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$5 x^{4} - 3 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2} + C$

Schritt 10.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$5 x^{4} - 3 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2 (1)} + C$

Schritt 10.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{4} - 3 x^{3} + \frac{2 (5 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 10.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{4} - 3 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{1} + C$

Schritt 10.2.3.2.4

Dividiere $5 x^{2}$ durch $1$ .

$5 x^{4} - 3 x^{3} + 5 x^{2} + C$