Analysis Beispiele

$y = \arcsin (\tan (x^{3}))$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\tan (x^{3})))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \tan (x^{3})$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (x^{3})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\sec^{2} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\sec^{2} (x^{3})$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (3 x^{2})$

Schritt 3.3.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ .

$\frac{3 \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} x^{2}$

Schritt 3.3.3.2

Kombiniere $\frac{3 \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Schritt 3.3.3.3

Stelle die Faktoren in $3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}$ um.

$\frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$