Analysis Beispiele

$y^{2} = 2 + x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 + x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$0 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + x y' + y \cdot 1$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$0 + x y' + y$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $x y' + y$ .

$x y' + y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' = x y' + y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - x y' = y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y' - x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (2 y) - x y' = y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y) + y' (- x)$ heraus.

$y' (2 y - x) = y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - x) = y$ durch $2 y - x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - x) = y$ durch $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y - x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$