Analysis Beispiele

$\ln (1 - x)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (1 - x)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (1 - x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \ln (1 - x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (1 - x)$ und $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x - \int x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Schritt 5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x - \int - \frac{x}{1 - x} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (1 - x) x - - \int \frac{x}{1 - x} d x$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (1 - x) x + 1 \int \frac{x}{1 - x} d x$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $\int \frac{x}{1 - x} d x$ mit $1$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{1 - x} d x$

Schritt 7.2

Stelle $1$ und $- x$ um.

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{- x + 1} d x$

Schritt 8

Dividiere $x$ durch $- x + 1$ .

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Schritt 8.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 8.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Schritt 8.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Schritt 8.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Schritt 8.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 11

Sei $u = - x + 1$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = - x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 11.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 13

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (1 - x) x - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 14

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x - x + C - (\ln (| u |) + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| u |) + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $- x + 1$ .

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

Schritt 17

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \ln (1 - x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$