Analysis Beispiele

$\int (4 + 3 x^{3} - 2 \sqrt{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 4 + 3 x^{3} - 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 d x + \int 3 x^{3} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$4 x + C + \int 3 x^{3} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$4 x + C + 3 \int x^{3} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 x + C + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$4 x + C + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 \int \sqrt{x} d x$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 x + C + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 x + C + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$4 x + \frac{3 x^{4}}{4} - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 x + \frac{3 x^{4}}{4} - 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$4 x + \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{- 2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x + \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 9.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x + \frac{3 x^{4}}{4} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$4 x + \frac{3}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$