Analysis Beispiele

$\int \frac{\sin (\sqrt{3 x})}{\sqrt{3 x}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 3 x$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

Schritt 2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Schritt 4.3

Bringe ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Schritt 4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 5

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , folglich $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 5.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache.

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Schritt 5.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2})) + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{2 \cos (u_{2})}{3} + C$

Schritt 10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Schritt 10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$- \frac{2 \cos ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$- \frac{2 \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Schritt 11.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{2}{3} \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + C$