Analysis Beispiele

$h (x) = {\begin{cases} x^{2} + k^{2}, 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{2 x + 4}{x - 1}, x > 2 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $\frac{2 x + 4}{x - 1}$ , wenn sich $x$ von rechts $2$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen rechtsseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x + 4}{x - 1}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 2 x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 2 x + lim_{x \to 2^{+}} 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Schritt 1.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + lim_{x \to 2^{+}} 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Schritt 1.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 1}$

Schritt 1.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 1.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 4}{2 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 4}{2 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.2

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{8}{2 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{8}{2 - 1}$

Schritt 1.9.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{8}{1}$

Schritt 1.9.3

Dividiere $8$ durch $1$ .

$8$

Schritt 2

Berechne $x^{2} + k^{2}$ bei $2$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

${(2)}^{2} + k^{2}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 + k^{2}$

Schritt 3

Da die Grenze von $\frac{2 x + 4}{x - 1}$ bei Annäherung von $x$ an $2$ von rechts nicht gleich dem Funktionswert bei $x = 2$ ist, ist die Funktion bei $x = 2$ nicht stetig.

Nicht stetig

Schritt 4