Analysis Beispiele

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{4} + 4 x^{3} - x$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$\int \frac{x (2 x^{3}) + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) - x}{x^{3}} d x$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{3}) + x (4 x^{2})$ heraus.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Schritt 6

Multipliziere $(2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2}$ aus.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x^{3 - 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\int 2 x^{1} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$\int 2 x + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x + 4 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.7

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int 2 x + 4 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int 2 x + 4 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\int 2 x + 4 - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.10

Bewege $4$ .

$\int 2 x - 1 x^{- 2} + 4 d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 4 d x$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$