Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} x^{2} \sin (π x^{2})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$lim_{x \to 1} x^{2} \cdot lim_{x \to 1} \sin (π x^{2})$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 1} \sin (π x^{2})$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

${(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 1} π x^{2})$

Schritt 4

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sin (π lim_{x \to 1} x^{2})$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sin (π {(lim_{x \to 1} x)}^{2})$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$1^{2} \cdot \sin (π {(lim_{x \to 1} x)}^{2})$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$1^{2} \cdot \sin (π \cdot 1^{2})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 \cdot \sin (π \cdot 1^{2})$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\sin (π \cdot 1^{2})$ mit $1$ .

$\sin (π \cdot 1^{2})$

Schritt 7.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sin (π \cdot 1)$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\sin (π)$

Schritt 7.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\sin (0)$

Schritt 7.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0$