Analysis Beispiele

$y = \tan (x \sin (x))$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (x \sin (x)))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x \sin (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x \sin (x)$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x)) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$