Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = \ln (1)$

Schritt 1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = \ln (e)$

Schritt 1.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{0}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{0}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$(2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \cdot 1 - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$2 - 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - 2 \cdot 0^{1}$

Schritt 4.2.6

Berechne den Exponenten.

$2 - 2 \cdot 0$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$2 + 0$

Schritt 4.2.8

Addiere $2$ und $0$ .

$2$