Analysis Beispiele

$\ln (e^{x} + x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{x} + x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} + x$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ um.

$(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $e^{x} + 1$ mit $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$