Analysis Beispiele

$| x - 1 |$

Schritt 1

Setze das Argument im Absolutwert gleich $0$ , um die potentiellen Werte zu finden, bei denen die Lösung geteilt werden könnte.

$x - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

$x = 1$

Schritt 2.2

Bilde Intervalle in der Umgebung der Lösungen, um zu ermitteln, wo $x - 1$ positiv bzw. negativ ist.

$(- \infty, 1), (1, \infty)$

Schritt 2.3

Setze einen Wert aus jedem Intervall in $x - 1$ ein, um herauszufinden, wo der Ausdruck positv oder negativ ist.

$\begin{array}{c} Intervall & Vorzeichen im Intervall \\ (- \infty, 1) & - \\ (1, \infty) & + \end{array}$

Schritt 2.4

Integriere das Argument des Absolutwerts.

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Schritt 2.4.1

Stelle das Integral mit dem Argument des Absolutwerts auf.

$\int x - 1 d x$

Schritt 2.4.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.4.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Schritt 2.4.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Schritt 2.4.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Schritt 2.5

Multipliziere die Lösung des Integrals mit $- 1$ in den Intervallen, in denen das Argument negativ ist.

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} - x + C) & x \leq 1 \\ \frac{1}{2} x^{2} - x + C & x > 1 \end{cases}$

Schritt 2.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} - x + C) & x \leq 1 \\ \frac{1}{2} x^{2} - x + C & x > 1 \end{cases}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} + x & x \leq 1 \\ \frac{1}{2} x^{2} - x & x > 1 \end{cases} + C$

Schritt 2.8

Vereinfache.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} + x & x \leq 1 \\ \frac{1}{2} x^{2} - x & x > 1 \end{cases} + C$