Analysis Beispiele

${(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3} - x^{2} y^{3} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3} - x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3} - x^{2} y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2} - 1$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y' + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.7

Addiere $2 x + 2 y y'$ und $0$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{3}$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $y$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $y$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x))$

Schritt 2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x))$

Schritt 2.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x + 2 y y') - (3 x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 x) + 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 y y') - (3 x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} x + 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (2 y y') - (3 x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} x + 6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (y y') - (3 x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

Schritt 2.4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} x + 6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (y y') - 3 (x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

Schritt 2.4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} x + 6 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} (y y') - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x$

Schritt 2.4.4

Stelle die Terme um.

$6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 6 y {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} y' - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 6 y {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} y' - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 6 y {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} y' - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x$ um.

$6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 6 y y' {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y y' {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 5.2.2

Addiere $2 y^{3} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y y' {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - 3 x^{2} y^{2} y' = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3 y y'$ aus $6 y y' {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - 3 x^{2} y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $3 y y'$ aus $6 y y' {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$ heraus.

$3 y y' (2 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) - 3 x^{2} y^{2} y' = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $3 y y'$ aus $- 3 x^{2} y^{2} y'$ heraus.

$3 y y' (2 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + 3 y y' (- x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $3 y y'$ aus $3 y y' (2 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + 3 y y' (- x^{2} y)$ heraus.

$3 y y' (2 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.4

Schreibe ${(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$ als $(x^{2} + y^{2} - 1) (x^{2} + y^{2} - 1)$ um.

$3 y y' (2 ((x^{2} + y^{2} - 1) (x^{2} + y^{2} - 1)) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.5

Multipliziere $(x^{2} + y^{2} - 1) (x^{2} + y^{2} - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 y y' (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} \cdot - 1 + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 y y' (2 (x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + x^{2} \cdot - 1 + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.6.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} \cdot - 1 + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - 1 x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.6.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.6.4

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.6.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.6.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - 1 y^{2} - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.6.6

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - y^{2} - 1 x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.6.7

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - y^{2} - x^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.6.8

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.6.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 y y' (2 (x^{4} + x^{2} y^{2} - x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} - y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.7

Addiere $x^{2} y^{2}$ und $y^{2} x^{2}$ .

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Schritt 5.7.1

Stelle $y^{2}$ und $x^{2}$ um.

$3 y y' (2 (x^{4} - x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4} - y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.7.2

Addiere $x^{2} y^{2}$ und $x^{2} y^{2}$ .

$3 y y' (2 (x^{4} - x^{2} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.8

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$3 y y' (2 (x^{4} - 2 x^{2} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - y^{2} - y^{2} + 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.9

Subtrahiere $y^{2}$ von $- y^{2}$ .

$3 y y' (2 (x^{4} - 2 x^{2} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - 2 y^{2} + 1) - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.10

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y y' (2 x^{4} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (2 x^{2} y^{2}) + 2 y^{4} + 2 (- 2 y^{2}) + 2 \cdot 1 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.11

Vereinfache.

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Schritt 5.11.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 2 (2 x^{2} y^{2}) + 2 y^{4} + 2 (- 2 y^{2}) + 2 \cdot 1 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 (x^{2} y^{2}) + 2 y^{4} + 2 (- 2 y^{2}) + 2 \cdot 1 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.11.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 (x^{2} y^{2}) + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 \cdot 1 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.11.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 (x^{2} y^{2}) + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.12

Entferne die Klammern.

$3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$

Schritt 5.13

Teile jeden Ausdruck in $3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y) = - 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$ durch $3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.13.1

$\frac{3 y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} = \frac{- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} + \frac{2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.13.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}{y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} = \frac{- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} + \frac{2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.13.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.13.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}{2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y} = \frac{- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} + \frac{2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y$ .

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Schritt 5.13.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.13.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)} + \frac{2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.13.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + 2 y^{3} x$ heraus.

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Schritt 5.13.3.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 x (- 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + 2 y^{3} x}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.3.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 y^{3} x$ heraus.

$y' = \frac{2 x (- 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + 2 x (y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.3.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + 2 x (y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{2 x (- 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} + y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 x (- (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) + y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 x (- (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) - 1 (- y^{3}))}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2}) - 1 (- y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{2 x (- (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3}))}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.13.3.6.1

Schreibe $- (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})$ als $- 1 (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})$ um.

$y' = \frac{2 x (- 1 (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3}))}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{(2 x) (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 5.13.3.6.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 x) (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$ um.

$y' = - \frac{2 x (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (3 {(x^{2} + y^{2} - 1)}^{2} - y^{3})}{3 y (2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} - 4 y^{2} + 2 - x^{2} y)}$