Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.7.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.7.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.7.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 + 0 - 1}$

Schritt 1.3.7.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.7.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{4 x} - 4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Schritt 3.6.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.6.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.6.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.6.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.6.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.6.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.6.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + 0}$

Schritt 3.9

Addiere $4 e^{4 x} - 4$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4 e^{4 x} - 4$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 e^{4 x} - 4}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{4 x}$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) - 4}$

Schritt 4.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)}$

Schritt 4.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

Schritt 4.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

Schritt 4.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{e^{4 x} - 1}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 5.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$2 \frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 5.1.3.1.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 5.1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 \frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$2 \frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Schritt 5.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 5.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 5.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Schritt 5.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{4 x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 5.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Schritt 5.3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 5.3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 5.3.4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 5.3.4.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 5.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 5.3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 5.3.4.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 5.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + 0}$

Schritt 5.3.6

Addiere $4 e^{4 x}$ und $0$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x}}$

Schritt 6.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

Schritt 6.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{lim_{x \to 0} 4 x}}$

Schritt 6.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Schritt 8.2

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{2 e^{0}}$

Schritt 8.4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$