Analysis Beispiele

$- 3 = x y - y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 3) = \frac{d}{d x} (x y - y)$

Schritt 2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y - y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = x y' + y - y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x y' + y - y' = 0$ um.

$x y' + y - y' = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - y' = - y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x - y' = - y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' x + y' \cdot - 1 = - y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (x - 1) = - y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 1) = - y$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 1) = - y$ durch $x - 1$ .

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- y}{x - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- y}{x - 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{x - 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x - 1}$