Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}} d x$

Schritt 3

Sei $u = 42 - 3 x$ . Dann ist $d u = - 3 d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 42 - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $42 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [42 - 3 x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $42 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.1.2.2

Da $42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $42$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - 3$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Schritt 4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $42 - 3 x$ .

$- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$