Analysis Beispiele

$- 4 x^{2} = - y^{2} - y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (- y^{2} - y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (2 x)$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y^{2} - y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 y y' - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- 2 y y' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 y y' - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- 2 y y' - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 y y' - (3 y^{2} y')$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 2 y y' - 3 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 8 x = - 2 y y' - 3 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 y y' - 3 y^{2} y' = - 8 x$ um.

$- 2 y y' - 3 y^{2} y' = - 8 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y y'$ aus $- 2 y y' - 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y y' \cdot - 2 - 3 y^{2} y' = - 8 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y y' \cdot - 2 + y y' (- 3 y) = - 8 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y y'$ aus $y y' \cdot - 2 + y y' (- 3 y)$ heraus.

$y y' (- 2 - 3 y) = - 8 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y y' (- 2 - 3 y) = - 8 x$ durch $y (- 2 - 3 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' (- 2 - 3 y) = - 8 x$ durch $y (- 2 - 3 y)$ .

$\frac{y y' (- 2 - 3 y)}{y (- 2 - 3 y)} = \frac{- 8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (- 2 - 3 y)}{y (- 2 - 3 y)} = \frac{- 8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 2 - 3 y)}{- 2 - 3 y} = \frac{- 8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 - 3 y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 - 3 y)}{- 2 - 3 y} = \frac{- 8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y' = - \frac{8 x}{y (- 1 (2) - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y$ heraus.

$y' = - \frac{8 x}{y (- 1 (2) - (3 y))}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (3 y)$ heraus.

$y' = - \frac{8 x}{y (- 1 (2 + 3 y))}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{8 x}{y (2 + 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{8 x}{y (2 + 3 y)}$

Schritt 5.3.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{8 x}{y (2 + 3 y)}$ mit $1$ .

$y' = \frac{8 x}{y (2 + 3 y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x}{y (2 + 3 y)}$